Este libro propone una introducción cualitativa al estudio de las variedades diferenciables. Está basado en cursos que llevamos impartiendo durante muchos años en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de
Madrid. Una primera versión se publicó en 1999, y ha sido utilizada desde entonces de manera regular en la docencia de las materias que cubre. Aprovechando esa experiencia aquel primer texto ha sido objeto de ediciones sucesivas hasta llegar a esta sexta veinticuatro años después. A este respecto, hay que destacar y agradecer la disponibilidad de Sanz y Torres para hacer nuevas ediciones con las mejoras que consideramos necesarias. Tales mejoras tienen finalidades muy concretas: (i) unificación de notaciones y terminología; (ii) simplificación y clarificación de enunciados y demostraciones, (iii) inclusión de ejemplos adicionales con cálculos explícitos ilustrativos, (iv) mayor adecuación de las series de problemas de cada sección, (v) confección de una colección de cuestiones para evaluación rápida de las nociones básicas, y (vi) organización de un índice y un glosario suficientemente detallados. De naturaleza menos sistemática son las ampliaciones de contenido teórico, como añadir el teorema de la fibración de Ehresmann, o el recíproco del teorema de Stokes en cohomología de de Rham para definir el grado de Brouwer-Kronecker y formular el teorema de Gauss-Bonnet.
Estas modificaciones afectan a prácticamente cada página del texto, pero no alteran el objetivo primordial de la primera edición, que es servir a los lectores el contenido básico clásico:
(1) Variedades y aplicaciones diferenciables.
(2) Campos tangentes y flujos.
(3) Formas diferenciales.
(4) Integración y volumen.
En realidad, este programa podría titularse al modo tradicional Cálculo en
Variedades. Para cubrirlo de modo realista, la exposición está simplificada al máximo, intentando combinar el rigor con la ligereza de formalismo. De hecho, muchas cosas se muestran con ejemplos adecuados, en lugar de con comentarios teóricos generales. En consonancia con este enfoque, hemos confeccionado una colección de 300 problemas y 60 cuestiones que esperamos ayuden a asimilar las nociones teóricas. Algunos problemas más difíciles o más significativos se marcan con un rayo o excepcionalmente dos.
El prerrequisito que el lector más necesita es el cálculo diferencial en espacios afines. Por supuesto, las nociones básicas de topología están incluidas en eso, así como la integral (de Riemann, no más). En cuanto a ecuaciones diferenciales, lo que se precisa es sólo el concepto, bien asequible, y una aplicación directa del teorema de Picard. Por supuesto, la mayoría de los lectores abordarán esta materia después de un curso elemental de curvas y superficies, lo que será una ventaja adicional para asimilarla.
Este texto sigue a muchos otros que se han escrito antes, en los que hemos aprendido lo que aquí exponemos a nuestra manera. Se los agradecemos a sus autores, desde el maravilloso librito amarillo de Michael Spivak en el que hace cuarenta y cinco años estudiamos por primera vez Cálculo en variedades, hasta el muy reciente libro de Bjorn I. Dundas, del que utilizamos alguna idea muy bella que no conocíamos antes.
También queremos expresar nuestro agradecimiento a Luis J. Alías, Miguel A. Amores, Jacek Bochnak, Antonio Costa, Leonardo Fernández, José F. Fernando,
Javier Lafuente, Celia Martínez, Enrique Outerelo, José Manuel Rodriguez Sanjurjo y Antonio Valdés, compañeros que nos han ayudado de diferentes maneras. Y no menos importante, agradecemos a nuestros alumnos su participación en nuestras clases, que hace cada día más estimulante la labor docente.
J.M. Gamboa, J.M. Ruiz
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