Demostraciones con encanto

Un viaje por las matemáticas elegantes

Alsina i Català, Claudi / Nelsen , Roger B.

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Esta obra presenta una colección de demostraciones notables en matemáticas elementales, sobre números, geometría, desigualdades, funciones, origami, teselaciones, de una elegancia excepcional, sucintas e ingeniosas. A través de razonamientos sorprendentes o de potentes representaciones visuales, esperamos que esta selección de demostraciones invite a los lectores a disfrutar de la belleza de las matemáticas.Además, cada capítulo concluye con desafíos al lector —se plantean alrededor de ciento treinta—, a quien animamos a que busque por sí mismo demostraciones con encanto y a compartir sus descubrimientos con otros.

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Índice

Prólogo....................................................................11Introducción........................................................... 15Capítulo 1. Un jardín de enteros.................................................................... 211.1. Números figurados.................................................................211.2. Sumas de cuadrados, cubos y números triangulares............................................................ 261.3. Hay infinitos primos.................................................................... 291.4. Números de Fibonacci................................................................ 321.5. El teorema de Fermat.................................................................... 351.6. El teorema de Wilson.................................................................... 351.7. Números perfectos................................................................. 361.8. Desafíos................................................................. 37Capítulo 2. Números ilustres.................................................................... 392.1. La irracionalidad de 2............................................................................. 402.2. La irracionalidad de k cuando k no es un cuadrado perfecto.................................................. 412.3. La razón áurea...................................................................... 422.4. La circunferencia y p............................................................................. 452.5. La irracionalidad de p............................................................................. 472.6. El conde de Buffon y su aguja...................................................................... 482.7. El número e como límite..................................................................... 492.8. Una serie infinita para e............................................................................ 522.9. La irracionalidad de e............................................................................ 522.10. El problema de Steiner sobre el número e............................................................................ 532.11. La constante de Euler-Mascheroni........................................................... 532.12. Exponentes racionales e irracionales........................................................... 552.13. Desafíos................................................................ 56Capítulo 3. Puntos en el plano..................................................................... 593.1. La fórmula de Pick....................................................................... 593.2. Circunferencias y sumas de dos cuadrados.............................................................. 613.3. El teorema de Sylvester-Gallai.................................................................... 633.4. Partiendo en dos un conjunto de cien mil puntos................................................................... 643.5. Palomas y palomares............................................................. 653.6. Asignando números a los puntos del plano..................................................................... 663.7. Desafíos......................................................... 68Capítulo 4. El patio de recreo de los polígonos.............................................................. 694.1. Combinatoria poligonal............................................................... 694. 2. Dibujar un polígono conocidas las longitudes de sus lados................................................................ 724.3. Los teoremas de Maekawa y Kawasaki............................................................... 734.4. Cuadratura de polígonos............................................................... 754.5. Las estrellas del patio de los polígonos............................................................... 764.6. Los vigilantes de la galería de arte......................................................................... 784.7. Triangulaciones de polígonos convexos................................................................ 804.8. Cicloides, ciclógonos y cicloides poligonales............................................................. 834.9. Desafíos.................................................................. 85Capítulo 5. Un tesoro de teoremas sobre triángulos................................................................ 875.1. El teorema de Pitágoras................................................................. 875.2. Parentescos pitagóricos.............................................................. 885.3. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ............................................... 915.4. La generalización de Pappus del teorema de Pitágoras................................................................. 925.5. La circunferencia inscrita y la fórmula de Herón...................................................................... 935.6. La circunferencia circunscrita y la desigualdad triangular de Euler ................................................. 955.7. El triángulo órtico...................................................................... 965.8. La desigualdad de Erdo?s-Mordell................................................................... 975.9. El teorema de Steiner-Lehmus................................................................... 995.10. Las medianas de un triángulo............................................................... 1005.11. ¿Son obtusángulos la mayoría de los triángulos?............................................................ 1025.12. Desafíos................................................................ 103Capítulo 6. El embrujo del triángulo equilátero.............................................................. 1056.1. Teoremas de estilo pitagórico.............................................................. 1056.2. El punto de Fermat de un triángulo............................................................... 1086.3. El teorema de Viviani.................................................................. 1096.4. Una teselación triangular del plano y la desigualdad de Weitzenböck................................ 1106.5. El teorema de Napoleón.............................................................. 1126.6. El milagro de Morley.................................................................. 1136.7. El teorema de Van Schooten............................................................... 1156.8. El triángulo equilátero y la razón áurea..................................................................... 1166.9. Desafíos......................................................... 117Capítulo 7. El rincón de los cuadriláteros......................................................... 1197.1. Puntos medios en cuadriláteros......................................................... 1197. 2. Cuadriláteros cíclicos................................................................. 1217.3. Igualdades y desigualdades en un cuadrilátero.......................................................... 1237.4. Cuadriláteros tangenciales y bicéntricos............................................................ 1267.5. Los teoremas de Anne y Newton................................................................. 1277.6. Pitágoras con un paralelogramo y triángulos equiláteros ........................................................... 1297.7. Desafíos........................................................ 130Capítulo 8. Cuadrados por todas partes.................................................................... 1338.1. Teoremas con un cuadrado............................................................... 1338.2. Teoremas con dos cuadrados.............................................................. 1358.3. Teoremas con tres cuadrados.............................................................. 1408.4. Con cuatro y más cuadrados.............................................................. 1428.5. Cuadrados y matemáticas recreativas............................................................ 1448.6. Desafíos......................................................... 146Capítulo 9. Curvas a la vista ............................................................................. 149 Cuadraturas de lúnulas ............................................................................. 1499.2. La asombrosa espiral de Arquímedes ............................................................................ 1559.3. La cuadratriz de Hipias................................................................. 1579.4. El cuchillo de zapatero y la bodega de sal....................................................................... 1589.5. Las cónicas según Quetelet y Dandelin ............................................................................ 1609.6. Triángulos de Arquímedes.........................................................1619.7. Hélices............................................................... 1649.8. Desafíos.............................................................. 165Capítulo 10. Aventuras con embaldosados y coloreados........................................................... 16910.1. Embaldosados y teselaciones del plano................................................................... 17010.2. Embaldosados con triángulos y cuadriláteros....................................................... 17410.3. Infinitas demostraciones del teorema de Pitágoras............................................................. 17710.4. La rana saltarina............................................................... 17910.5. Los siete frisos.................................................................... 18110.6. Demostraciones coloridas ....................................................................................... 18410.7. El dodecaedro y los caminos hamiltonianos.......................................................... 19210.8. Desafíos..................................................................................................................... 194Capítulo 11. Geometría en tres dimensiones...................................................... 19711.1. El teorema de Pitágoras en tres dimensiones....................................................... 19811.2. Particiones del espacio con planos........................................................................ 19911.3. Triángulos correspondientes en tres rectas.......................................................... 20111.4. Un cono que triseca ángulos ................................................................................. 20111.5. La intersección de tres superficies esféricas......................................................... 20211.6. La cuarta circunferencia......................................................................................... 20411.7. El área del triángulo esférico................................................................................. 20511.8. La fórmula de Euler para poliedros....................................................................... 20611.9. Caras y vértices de poliedros convexos................................................................. 20711.10. ¿Por qué se repiten las formas de algunas caras de los poliedros?..................... 20911.11. Euler y Descartes à la Pólya................................................................................... 21011.12. Cuadriculando cuadrados y cubiculando cubos................................................... 21111.13. Desafíos................................................................................................................... 213Capítulo 12. El patio de recreo de los polígonos................................................ 21512.1. Conjuntos numerables y no numerables.............................................................. 21512.2. El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein............................................................ 21712.3. La desigualdad de Cauchy-Schwarz...................................................................... 21812.4. La desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica....................... 22012.5. Dos perlas del origami............................................................................................ 22112.6. ¿Cómo dibujar una línea recta?.............................................................................. 22312.7. Algunas joyas de las ecuaciones funcionales....................................................... 22512.8. Desigualdades funcionales.................................................................................... 23012.9. La serie de Euler para p2/6..................................................................................... 23312.10. El producto de Wallis.............................................................................................. 23512.11. La aproximación de Stirling para n!...................................................................... 23612.12. Desafíos................................................................................................................... 238Soluciones a los desafíos........................................................................................... 241Capítulo 1........................................................................................................................... 241Capítulo 2........................................................................................................................... 243Capítulo 3........................................................................................................................... 247Capítulo 4........................................................................................................................... 249Capítulo 5........................................................................................................................... 251Capítulo 6........................................................................................................................... 255Capítulo 7........................................................................................................................... 258Capítulo 8........................................................................................................................... 261Capítulo 9........................................................................................................................... 262Capítulo 10......................................................................................................................... 265Capítulo 11.......................................................................................................................... 269Capítulo 12......................................................................................................................... 270Referencias bibliográficas......................................................................................... 273Índice por palabras...................................................................................................... 283Sobre los autores........................................................................................................... 289

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